Geometría fractal en el arte digital
"La Matemática, vista correctamente, posee no solamente verdad sino también extrema belleza, una belleza fría y austera como la de una escultura, sin apelar a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin los aspectos más hermosos de la pintura o la música, pero sin embargo, sublimemente pura y capaz de una perfección rígida como solo puede mostrar el arte más grande".
–Bertrand Rusell
¿Qué es la geometría fractal?
La Geometría Fractal es la rama de las matemáticas que ha sido creada más recientemente, concretamente a finales del siglo XX. Hasta ese momento se intentaba aplicar la geometría tradicional para estudiar puntos, líneas, planos y volúmenes, describiendo y estudiando objetos de la vida cotidiana y elementos construidos por los seres humanos.
Sin embargo, de poco nos valen las herramientas tradicionales cuando queremos describir elementos y fenómenos de la naturaleza. En la introducción de su libro «Geometría Fractal de la Naturaleza», el matemático Benoit Mandelbrot, dice:
«Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta»
-Benoît Mandelbrot. (1924-2010)
¿Qué es un fractal?
Mandelbrot intentaba encontrar alguna explicación para los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza, además del comportamiento aparentemente caótico de muchos fenómenos. Es posible que por ello buscara un nuevo término: fractal (del latín fractus: quebrado, fracturado), que acuñó en 1975.
Es difícil dar una definición clara y asequible a todo el mundo de lo que es un fractal, pero podemos decir que muchos de ellos son objetos cuya estructura se repite a diferentes escalas, es decir, tienen la propiedad de la autosimilitud.
Sin embargo, existen objetos fractales que no tienen autosimilitud. Por ello, en la definición de fractal, hay que hacer uso del concepto de dimensión. Diremos entonces que los fractales se comportan de manera diferente: son «más que líneas» y al mismo tiempo «menos que áreas», o «más que puntos» y al mismo tiempo «menos que líneas». Por eso se dice que su dimensión es fraccionaria o no entera.
Benoit Mandelbrot está considerado como el padre de la geometría fractal.
La geometría fractal trata de modelar y describir muchos fenómenos naturales y experimentos científicos, y se ha transformado en pocos años en una herramienta multidisciplinar utilizada por científicos, médicos, artistas, sociólogos, meteorólogos, músicos, informáticos.
Mandelbort menciona que existen tres tipos de fractales: aquellos que tienen autosimilitud exacta, los que poseen cuasiautosimilitud -copias semejantes pero no idénticas- y la autosimilitud estadística, en la que el fractal tiene dimensiones estadísticas que se conservan con la variación.
De este modo, pueden observarse de distintas formas en la naturaleza. Desde las hojas de los árboles que tienen un ramaje similar por todo su cuerpo, una flor o el coliflor, en los que una pequeña parte de ellos es muy parecida a una pieza completa, los fractales son fáciles de percibir en nuestro entorno. Sin embargo, las ecuaciones que mostraban patrones de repetición se convirtieron en el principal objeto de estudio para Mandelbort.
El mismo Mandelbrot comenzó a introducir las ecuaciones fractales en los ordenadores para intentar hacer las imágenes más accesibles, puesto que a la vista un fractal descrito en ecuación era casi imposible. Poco después, muchos matemáticos experimentaron con la creación de nuevos fractales debido a su belleza. A través de programas digitales, comenzaron a introducir ecuaciones fractales y cambiaron los datos para generar colores brillantes y vistosos, con formas mucho más seductoras.
A través de algoritmos de color, los pixeles y gradientes de cada fractal podían ser modificados y reordenados para producir unos nuevos. De esta manera, su creación se hizo infinita y cada artista podía generar una combinación propia que resultara atractiva para el público. Fue aquí donde la geometría fractal se convirtió en el arte fractal.
Sin embargo, antes de conocer la relación entre las ecuaciones fractales y la creación de una nueva expresión artística, algunos artistas como Escher ya habían comenzado a experimentar con la repetición de patrones y su belleza en el arte.
Así pues, de un modo mucho más cercano, el arte fractal comenzó a tener relevancia en la ciencia y el arte. En las exposiciones científicas donde se hablaba de matemáticas y geometría, se invitaba a artistas para exponer sus obras de arte. En simposios de arte se invitaba a creadores de fractales para que hablaran acerca de la nueva técnica de creación.
El conjunto de Mandelbrot
El conjunto de Mandelbrot es el más estudiado de los fractales. Este conjunto se define en el plano complejo fijando un número complejo c cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido.
Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26, …, que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.
En cambio, si c = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1, …, que sí es acotada y, por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.
Representación matemática del conjunto de Mandelbrot como subconjunto del plano complejo. Los puntos del conjunto se muestran en negro. Obsérvese cómo –1 pertenece al conjunto, mientras que 1 no.
A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo, observamos que el rojo oscuro indica que al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que el blanco informa de que se ha tardado mucho más en comprobarlo.
Representación del conjunto de Mandelbrot mediante el algoritmo de tiempo de escape.
Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.
Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir, x2+y2>4 no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique |zn|>2 para estar seguro de que c no está en el conjunto.
Artistas reconocidos
William Latham. (1961)
William Latham es un artista cuyo trabajo pionero en arte algorítmico generado por computadora transformó los límites de la creatividad digital. Mientras era investigador en IBM a finales de los 80 y principios de los 90, Latham colaboró con el matemático y programador Stephen Todd en el desarrollo del software Mutator Evolutionary Art, un hito en la rama de la IA dedicada a la «vida artificial».
Vicky Brago-Mitchell. (1946)
El trabajo en artes gráficas involucrado en el diseño y mantenimiento del sitio web la llevó a descubrir el arte fractal. Fascinada por las infinitas posibilidades de este nuevo medio, ha dedicado gran parte de su tiempo desde mediados de 2003 a producir piezas que reflejen su amor por la naturaleza y su preocupación por cuestiones de tiempo y espacio.
Carlos Ginzburg
Nació en La Plata en 1946. Estudió filosofía y la teoría social. Artista conceptual se interesó en el Arte Digital y Arte Fractal. Ginzburg creó lo que él llama fractalus homo, que es un concepto sobre la totalidad del microcosmos. Quién asegura que el ser humano es el perfecto fractal.